知识点：
弧长公式
(角度制)扇形弧长计算公式
, l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。
弧长L=2 × 圆心角的角度(角度制) × 圆周率π3.14 × 半径 / 360°
弧长L=圆心角的角度(角度制) × 圆周率π3.14 × 半径 / 180°
(弧度制)扇形弧长计算公式
，l是弧长，|α|是弧l
弧长公式
所对的圆心角的弧度数的绝对值，R是扇形半径。
弧度制表示 |α| 即：圆心弧度绝对值 单位为：rad
弧长L=圆心弧度绝对值 |α| × 半径 r
面积公式
R是扇形半径，n是弧所对圆心角度数，π是圆周率，L是扇形对应的弧长。
也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n，如下：
；
扇形面积S=圆心角的角度(角度制) × 圆周率π3.14 × 半径r² / 360°
（L为弧长，R为扇形半径）
扇形面积S=弧长L× 半径 / 2
推导过程:S=πR²×L/2πR=LR/2
扇形面积S=圆周率π3.14 × 半径r²× 弧长L/ 2×圆周率π3.14×半径=弧长L×半径 / 2
(L=│α│·R）
（弧度制）循环链条扇形面积计算公式：
扇形面积S=圆心弧度绝对值|a|×半径r² / 2
圆心弧度绝对值|a| =扇形面积S×2 /半径r²
弧长L=圆心弧度绝对值|a|×半径r
扇形面积S=弧长L×半径r / 2
扇形(符号:⌔)，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成，在较小的区域被称为道小扇形，较大的区域被称为大扇形。在右图版中，θ是扇形的角弧度，r是圆的半径，L是小扇形的弧长。
圆弧为180°的扇形称为半圆。其他圆弧角的扇形有时给予其特别的名字，其中包括象限角(90°)、六分角(60°)以及八分角(45°)，它们分别是整圆权的1/4、1/6、1/8。
视频教学：
练习：
1．如图，扇形AOB中，OA＝2，C为
上的一点，连接AC，BC，如果四边形AOBC为平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，点D在OA上，连接BD，点C在AB上，且点C，O关于直线BD对称，连接CD，则图中阴影部分的面积是（）
A．
﹣
B．π﹣
C．
﹣
D．
﹣
3．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2，C为
的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积为（）
A．πB．
C．
D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以
AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是（）
A．8﹣4πB．8﹣πC．16﹣2πD．8﹣2π
5．如图，扇形AOB的圆心角是60°，半径是
，点C为弧AB的中点，过点C作CD∥OB交DA于点D，过点B作BE∥OA交DC延长线于点E，则图中阴影部分面积为（）
A．
B．
C．
D．
课件：
教案：
课题
2.7弧长及扇形的面积
课型
新授课
总第课时
授课
时间
主备
审核
学习
目标
1．经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2．理解记忆弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题；
3．渗透转化、类比思想，借助图形面积的和或差计算阴影部分的面积和周长.
学习
重难点
重点：弧长与扇形的计算公式的推导与应用.
难点：弧长与扇形的计算公式的应用，求阴影部分面积和周长.
知识
链接
圆的周长和面积公式，圆中相关的概念.
齐心合力，快乐学习；取长补短，共同进步
教学活动过程
教师点拨、修订
一、知识准备
1．圆周长计算公式_______，圆面积计算公式_______.
2．如果一条弧所对的圆心角是120°，那么这条弧长等于这个圆周长的_______.
设计意图：回顾圆中两个计算公式为本节课的学习做好知识准备，同时引入弧长问题，渗透整体思想.
二、问题导学
活动1：扇形的概念——自学课本第83页
问题：
（1）什么样的图形叫做扇形？
（2）扇形的构成要素有哪些？
（3）扇形的周长如何表示？
设计意图：通过学生自学，明确扇形究竟是怎样的一个图形，为后面公式的探究做好铺垫，同时添加了扇形周长公式，将线段长和弧长融合到一起，自然而然引入下一个活动——弧长公式的探究.
活动2：探索弧长计算公式——自学课本第83页
（一）独立思考：如下图，扇形的弧长与那些因素有关？它与所在圆的周长之间存在怎样的关系？
（二）合作完成：
如图，圆的半径为r
（1）试计算圆心角分别为180°、90°、45°所对的弧长.
（2）计算n°的圆心角所对的弧长.
（三）归纳总结：
如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l=
设计意图：考虑到学生的认知水平和接受能力，设置了从特殊到一般的情景，以问题串的形式，降低了探求知识的难度，容易激发学生的参与意识，主动探究意识.
（四）举例示范：
例1如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．设⊙O的半径为2，求⌒BC的长．
设计意图：（1）巩固弧长公式，需要知道弧所对圆心角的度数和半径，学会添加辅助线（连接OB、OC）——构造符合需要的图形.
（2）教师示范，规范答题格式.
（五）阶段检测1：
（1）已知圆弧的半径为24，所对的圆心角为60º，则圆心角所对的弧长是_____.
（2）已知扇形的圆心角为120º，弧长为20π，则扇形的半径为_____.
（3）已知圆弧的半径为6，弧长是5π，则此圆弧所对的圆心角为____.
设计意图：巩固弧长公式，灵活运用弧长公式——求弧长、求半径、求圆心角度数.
活动3．探索扇形面积计算公式
（一）独立思考：如下图，扇形的面积与那些因素有关？它与所在圆的面积之间存在怎样的关系
（二）合作完成：
如图，圆的半径为r
（1）试计算圆心角分别为180°、90°、45°扇形的面积；.
（2）计算n°的圆心角扇形的面积.
设计意图：仿照弧长公式的探究过程，采用类比的方法探究扇形面积公式，学生熟练，节省时间.
（三）归纳总结：
在半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形面积的计算公式为：S=_______=.
（四）阶段检测2：
（1）已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则扇形面积为____ .
（2）（17泰州）已知扇形的弧长为2π，半径为3，则这个扇形的面积为______.
（3）已知扇形面积为6π，半径为4扇形面积公式3个，求扇形的弧长.
设计意图：及时巩固计算扇形面积的两个公式，恰当选择面积计算公式.
三、典型例题——阴影面积的计算
例2如图，折扇完全打开后，OA、OB的夹角为120°，OA的长为30cm，AC的长为20cm，求图中阴影部分的面积S．
设计意图：求阴影图形的面积是中考常考查的的知识点.本节课渗透阴影面积的求法指向性明确：让学生明确阴影部分的构成，阴影部分的转化——转化成熟悉的图形（本例题是转化成两个扇形面积的差）.
变式：试求阴影图形的周长.
设计意图：让学生明确图形的构成——线段和弧，然后分别求它们的长度，进一步巩固弧长公式.
拓展提升
如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的3等分点．求弦AC、AD与⌒CD围成的阴影部分的面积
变式1：阴影图形的周长.
变式2：若P为AB上一动点，链接PC、PD，则阴影PCD的面积是否变化？周长是否变化，若变化，求出周长的最值.
设计意图：
（1）使学生学会将不规则的图形转化为规则、熟悉的图形，再计算面积（本题将阴影转化为扇形OCD）；
（2）将动点问题渗透在圆中，从中寻找不变量和变量，培养学生分析问题综合运用知识的能力.
四、课堂小结
知识内容——数学思想、方法——收获与不足
1．弧长公式、扇形面积公式、周长公式；
2．不规则图形的面积的求法：用规则的图形的面积来表示；
3．数学思想方法的应用：
①转化思想；②整体思想；
③类比思想；④数形结合思想．
设计意图：回顾本节流程，整理本节知识、方法、数学思想，形成简单知识树，感悟收获，明确不足.
五、课堂检测
1．扇形的圆心角是45°，扇形半径为8，则扇形弧长为______，面积为____________.
2．已知扇形的圆心角是30°，弧长为π，则扇形的半径为______，面积为____________.
3. 如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°，求这段铁轨的长度.
4．如图1，圆O的半径为5，A是圆O外一点，AB切圆O于点B，AO交圆O于点C，点C为OA的中点.
（1）求弧BC的度数；
（2）求阴影部分面积和周长
设计意图：检查学生对本节课所学内容的掌握情况，教师对于掌握不好的知识点及时进行评讲、补救，让学生明确注意的地方和努力的方向，考查学生综合运用直角三角形和等边三角形的判定和性质的能力.
指导学生画图，默写公式，解释公式中各个量的含义；明确弧不仅有度数还有长度，直观感受弧长与圆周长之间的关系.
引导学生带着问题自学，指导学生画扇形，体会扇形的构成.
合作、交流、总结：
指导学生合作，指出关键之处：弧的度数和整个圆的度数（360°）之间的关系.
建议：在探究时，再细化：将圆等分为360份，每一份弧的长度为多少？
抽查学生对公式的理解记忆以及对公式中各个量含义的理解.
建议：分组合作完成对公式的变形，推导出n和r的计算公式.（不要求学生记忆）
学生思考并分析，小组内互讲，学生代表试讲.教师板书，规范答题格式.
总结辅助线的添加方法及运用的知识点：
（1）连半径，构造圆心角；（2）圆心角与圆周角关系；（3）弧长公式.
学生板演，互查，互批，纠正.
结合弧长公式探究方法，学生分组完成，教师关注各组进度及完成情况，及时点拨.
小组展示，总结
建议：结合弧长及扇形面积公式的结构，探索二者之间的关系（类似于三角形的面积计算公式）.
抽查学生理解记忆公式情况，逐个落实.
总结：无论是哪个公式，都需要知道扇形半径.
调动学生去发现计算面积的方法.让学生讲解，教师板书.
建议：强化理解记忆扇形面积公式，注意与弧长公式的区别——分母及半径的指数.
从不同角度去认识阴影图形，渗透本节所学公式，并高于本节所学内容.
分组讨论，教师指导，组内互助，互讲.
小组展示、补充.
总结：利用“同底等高”将三角形ACD的面积转化为三角形OCD的面积，从而阴影面积转化为扇形OCD的面积.
指导学生完成作图，合作探求方法和结论，指出运用知识要点.
放手学生总结扇形面积公式3个，相互补充（从不同角度总结），
教师适时引导.
教师巡视，学生独立完成测试.
出示答案，教师根据巡视结果及学生答题情况进行点评.
学生互讲、总结.
板书设计：
2.7 弧长及扇形的面
一、扇形的概念二、弧长公式三、扇形面积公式.四、阴影面积
1.概念：1.活动探究 ：1.活动探究：例2：
2.构成：2.公式：2.公式（两个）：拓展提升：
3.扇形周长：3.例1：
教后反思：
本节课是在小学已经学习过圆的周长、面积公式和初三已经学过圆的相关概念和性质基础上展开的，学生已经具备了一定的知识基础和学习能力.在编排本节课时，先从已学知识入手，为本节课的探究做好了知识准备，再通过学生自学的方式更深的了解了扇形的概念和构成，自然而然的总结得出了扇形的周长公式.紧接着安排了两个探究活动，以小组合作的方式进行，设计了问题串，由浅入深、逐层推进，并且采用了类比的方式进行，学生积极性较高，活动较为充分，效果良好.此外安排了两个例题，对学生的书写格式进行了规范，对例2及拓展提升进行了变式训练，提升了学生分析问题、解决问题的能力，还设计了两个阶段检测，及时对所学知识进行了巩固和检查.本节课也存在这一些瑕疵：（1）虽然安排了探究活动，但学生参与的不够深入，配合还需要优化；（2）对于变式训练，学生说的多做得少，没有落实到纸上；（3）课堂检测时间仓促，安排不够合理等.对策：深入教材，了解学生，优化课堂环节，详略得当，各个环节活动要合理，时间要充分，学生要投入、深入，教师点拨及时、准确、到位.
初中生学习推荐：
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