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大家好！我是一课研究工作组第26组的何朝勇，来自奉化区新城实验小学。很高兴在此与您相遇！
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听一听：小学生数学合情推理的教育价值及其内涵剖析（节选）作者：闫龙敏
读一读：小学阶段合情推理的教学现状及策略思考
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小学阶段合情推理的教学现状及策略思考
————以“平行四边形的面积”教学为例
合情推理能力的培养是义务教育数学课程的核心目标之一，对培养学生的探索能力和创新精神有着重要意义。合情推理能力的培养符合小学生的心智特点，但目前小学生的合情推理能力比较弱，与《课标》要求存在着较大落差。本文以“平行四边形的面积”教学为例，通过调查该领域教与学的现状，对比《课标》要求明晰落差，并从教材与教学的有效链接、操作与思考的有效链接、知识与应用的有效链接三个维度提出相应对策，以促进小学阶段数学合情推理发展目标的实现。
直面“尴尬”寻症结
推理在数学中具有重要的地位。诚如《课程标准（2011版）》（以下简称《课标》）所指出的：“推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”学生通过义务教育阶段的数学学习，经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。同时也对义务教育阶段的推理能力培养提出了相应的具体要求。
可见，推理能力的形成需要一个长期、循序渐进的过程，教学活动必须提供学生探索交流的空间，组织、引导学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，把发展学生的推理能力融合在“过程”之中。小学阶段的推理能力培养主要是指合情推理。
同时，有关研究表明：小学生推理能力的培养离不开老师的引导，教师对合情推理教学的理论理解、目标认定、实践应用都将直接影响学生的合情能力发展的程度与水平。小学教师在合情推理的认识、理论、方法、技能等方面存在严重缺失，这是目前合情推理教学质量难以提高的重要原因。u0002我区教师对合情推理的认知情况情况如何？学生的合情推理能力发展状况如何？教师的认知情况是否与学生的能力发展是否存在相关性？为此，笔者进行了相关调查：
1.教师问卷
问卷对象：奉化区部分小学数学教师
问卷形式：网络限时问卷（禁止查阅任何资料）
问卷内容与数据：
2.学生问卷
问卷对象：奉化实验小学（城区学校）、奉化方桥小学（农村小学）五年级学生
问卷形式：现场限时问卷
问卷内容与数据：
透析“尴尬”数据，我们不难发现学生合情推理能力的发展受以下因素影响：
一、教师的本体性知识的欠缺
从教师问卷的统计结果分析，问题1的正确率只有25%，从问题2的正确率不到30%，显然教师对于合情推理的内涵认知不到位。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是数学家乔治.波利亚对归纳推理、类比推理等或然性推理（即推理的结论不一定成立的推理）的特称。需特别指出的是，由于归纳推理中的完全归纳推理考查了推理前提中所有的对象或类，所以若前提成立，结论也一定成立，因而完全归纳推理属于必然性推理而非合情推理。它们之间的关系可用下图表征：
二、相关上位知识的学习情况影响较大
平行四边形面积的上位知识主要包含面积的概念、长方形面积计算公式及推导过程。从学生问卷的问题1的回答情况分析，城乡之间差异不明显，很少有人选择②号边和③号边。但从问题2的调查数据分析，可以看出上位知识的掌握、理解情况对合情推理能力影响明显。方桥小学有22.2%的学生采用“（①+②）×2”计算平行四边形面积，明显高于城区学校，显然，孩子们混淆了面积与周长的概念，对面积的概念理解存在偏差； 从“猜想—证明”的问题探索过程分析，实验小学有80%的孩子做出了猜想，比方桥小学高20%，正确率也高了17.8%，说明上位知识的掌握、理解有助于学生引发猜想。
三、教师的认知情况对学生的能力发展影响明显
方桥小学两个班的数据差异说明教师对合情推理的不同认知对学生合情推理能力的发展影响明显。通过访谈发现，B班任课教师认为：小学生的知识储备有限，与其在课堂上花大量时间让学生经历“观察、实验、猜想、验证”的过程，还不如通过讲授、练习帮助学生掌握知识和技能合情推理，显然该教师对培养学生合情推理的重要性认识不足。笔者还发现部分教师虽然认为小学阶段培养学生的合情推理能力很重要，但却困惑于哪些教学素材可以渗透合情推理？怎样的环节安排有助于培养学生的合情推理能力？推理能力的培养目标缺乏连续性、层次性，无法在教学中形成培养目标体系。A班教师则认为：数学知识应该是一个再发现、再创造的过程，知识技能固然重要，但更重要的是发展学生数学的思维能力和创新能力。因此，在教学过程中，教师要充分挖掘素材，组织、引导学生经历“观察、实验、猜想、验证等数学活动过程”。并且，教师应该将推理目标作为课堂教学设计与实施的一个基本出发点，落实在日常教学之中。由此可见，教师对于合情推理重要性的认识，在日常教学中的渗透、落实到位与否对学生合情推理能力的发展有着重要影响。
追溯“源头”思策略
要培养小学生的合情推理能力，教师必须自己懂推理、会推理。教师不懂推理，在教材解读层面就不能有效挖掘相关素材，贻误培养学生合情推理能力的时机。更关键的是，推理能力的培养是一个长期的过程，需要在不同的阶段制定不同的培养目标，循序渐进，“点”的不断贻误必然导致“链”的断裂，阻碍小学生合情推理能力培养目标的实现；教师不会推理，就无法把推理能力的培养融合在数学教学过程中，使学生失去经历观察、实验、猜想、验证等推理过程的机会。更重要的是，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，是“发现真理”的思维。教学“失位”不仅影响小学生合情推理能力培养目标的实现，还扼杀了学生的思维能力和创新精神。
一、点线结合，实现教材与教学的有效链接
推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。小学生合情推理能力的提升不是一蹴而就的，需要长期的、循序渐进的教学实践，这就要求教师要以学生的身心发展特点、活动经验水平为前提，充分挖掘教材中的合情推理素材，分层次、分阶段地落实在课堂教学中，实现教材与教学的有效链接。
（一）“线”上梳理合情推理，挖掘教材中的合情推理素材
从知识体系考量，“平行四边形面积”一课是在学生理解面积概念，学会长方形、正方形的面积计算，会画平行四边形的底对应的高的基础上教学的。通过本节课的学习，也为学生推导三角形、梯形面积的计算公式做准备。但从推理角度考量，人教版教材中“长方形面积”公式的推导是不完全归纳推理，通过学生摆一摆、数一数等操作活动，经历长方形的面积推导过程。“平行四边形面积”公式的推导属于演绎推理，通过“数方格”初步感知平行四边形与长方形的联系，进而通过“转化”得出两种图形间的本质联系，从“等量关系”的角度推导出平行四边形的面积计算公式。“三角形的面积”一课从推理形式分析属于完全归纳推理，两个完全一样的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都可以拼成一个平行四边形，因此所有两个一样的三角形都可以拼成一个平行四边形，进而推导出三角形的面积计算公式。显然，教材中平行四边形、三角形面积的推导都属于必然推理。但从调查数据分析，如果仅提供一个平行四边形，让学生思索其面积计算方法，有近40%的学生猜测：因为长方形面积=长×宽，平行四边形的底和邻边相当于长方形的长、宽，所以平行四边形面积=底×邻边。从实际学情与创新能力发展的角度思索，教材的编排方式一定程度上限制了学生合情推理能力的发展。因此，在本课教学时，我们可以提供一个平行四边形，引发学生不同猜测，发展学生的合情推理能力，进而在化解矛盾（同一个平行四边形，面积不可能不同）的过程中感知、理解平行四边形的面积计算公式，这符合学生的认知规律，也可以从中让学生体验合情推理的或然性，有助于学生合情推理能力的发展。
（二）“点”上突破，拉伸教学中的合情推理过程
北师大版教材在编排上与人教版有很大的不同：首先，北师大版教材一开始引导学生从运用类比推理猜测平行四边形面积，然后通过数方格发现猜测错误（有利于学生感知合情推理的或然性），进而通过操作活动探索平行四边形的面积计算公式；其次，北师大版教材在本单元的第一课时就安排了“比较图形的面积”，通过拼组、割补等方式比较不同图形的面积，为学生后续探索平行四边形面积、三角形面积渗透了方法。通过比较，我们认为北师大版教材更符合学生的认知规律，从数学思考、方法的维度也为学生提供了更合适的素材。在教学中以这种方式推进，更有助于拉伸学生合情推理的过程，促进学生合情推理能力的发展。
二、表里合一，实现操作与思考的有效链接
著名数学教育家斯腾伯格基于自身的教学实践研究认为：培养数学推理的有效方式是将操作、实践性思维与分析、概括性思维有机结合起来。也就是说，一定要使“外在”的操作活动与“内在”的思考活动协调发挥作用，并突出思考的过程。
（一）激发操作需求，实现表层策动
动手操作是学生学习数学的常用方法，有效地操作可以提升学生的数学能力。学生的数学学习不应该是被动接受的过程，而是知识“再创造”的过程。教材中呈现的许多实例和操作活动，使用不好就容易流于浅层次的机械操作与演算。有时，操作活动前过于明确的要求就容易使操作流于形式，学生经历的是知识“伪创造”的过程。例如，下面是A、B教师在教学“平行四边形面积”时提供的学习单：
A教师的课堂教学氛围很活跃，学生很快完成了探究过程，顺利推导出平行四边形的面积计算公式。B教师的课堂却略显沉闷，许多学生一开始都无从下手，探究过程花了大量时间，尽管如此，依然有部分学生无法推导出公式。但显然A班孩子的操作是在教师指令下完成的，所谓的“探究”过程是知识“伪创造”的过程。而B班孩子们的操作活动则源于他们的内在需求，“猜测—操作—验证”的过程是知识“再创造”的过程，只有基于思考的操作才能提升学生的学习能力。
（二）突出自我监控，促进深层思考
操作仅仅是数学教学中的一种手段，而促进学生数学思维的发展则是数学教学的核心，发现数学知识是数学教学的目标。通过操作活动，让学生体验探索、推断的生动过程，这只是培养推理能力的一个表层策动。显然，上例中B班学生的操作活动是基于思考的操作活动，学生前期“束手无策”的过程恰是他们深层思考的过程。更关键的是，通过课堂观察我们发现，B班的学生在操作过程中，部分孩子一开始并没有沿着高剪，而是随意画了一条线段，但在剪、拼的过程中很快就发现了其中的问题，孩子们不仅知道了自己在做什么、为什么这么做，而且知道了这么做有什么好处。这也说明，基于思考的操作活动，使自我监控成为了学生的自觉行为，这不仅提高了学生数学思考的敏锐性，也是推理能力发展的重要表现。
三、知行合一，实现知识与意识的有效链接
很多学生在数学学习中存在着“眼高手低”的的状况，数学应用意识淡薄，主要体现在当面对现实问题时，孩子们不能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。这就要求教师在教学中不仅要关注学生知识的学习，更需关注学生能力与意识的发展，实现知识与应用的有效链接。
（一）提炼推理之路，沉淀数学知识与经验
学生“眼高手低”的原因之一就是不具备调取相关知识的能力，这与我们日常教学中忽视知识的结构化有关。把散状的知识点纳入网状的知识体系，更有助于学生理解知识的来龙去脉。知识结构化的过程一般安排在教学总结环节。教师要善于引导学生联结新、旧知识，在寻找异同的过程中形成知识结构。在本课教学中，有知识结构化意识的教师会提出类似“你认为平行四边形、长方形面积公式间有什么相同之处？”的问题，引导学生发现：长方形是一种特殊的平行四边形，实质上长方形的长就是底，长方形的宽就是高，因此“长×宽”实质上就是“底×高”，达成知识结构化；学生“眼高手低”的另一原因就是缺乏解决问题的方法。所以，教师要善于提炼学习方法，帮助孩子们积累经验。在本课教学总结环节，我们需要提出类似“我们是怎样研究平行四边形的面积公式？”的问题，引导学生回顾研究的思路，即“类比、猜想—实验否定猜想—生成新猜想—实验验证猜想”的过程，使学生在回顾中感悟类比推理的一般路径。同理，在研究长方形面积时，我们需引导学生回顾“观察—猜想—举例验证—再举例验证——……—归纳结论”的学习过程，提炼不完全归纳推理的一般路径。长期如此，有助于学生明晰推理的一般路径，遇到实际问题能调用相关知识与经验尝试解决。
（二）搭建知行之桥，提升数学直觉与意识
直觉，是对事物本质属性的直接感悟。而数学直觉，是对数学问题的直接感悟。由数学的直觉经过合情推理提出的数学命题，就成为了数学猜想。学生在数学学习中，面对着是“未知”的数学知识，这些知识应在教师的引导下由学生主动去探索，而数学的发现，往往靠数学的直觉与合情推理去引导。因此，提升学生的直觉思维与应用意识，对培养学生的创新意识有着重要意义。例如，在教学“三角形的面积”时，某位教师利用学习单引导孩子们自主探究三角形面积。
孩子们的数学直觉告诉他们，三角形的面积应该是“底×高÷2”。此时，教师应给孩子们提供足够的操作空间和时间，让孩子们尝试通过操作活动验证自己的猜想。许多孩子凭借直觉沿平行四边形的对角线把它等分成两个三角形，很快验证了猜想。但此时，教师必须追问“是否所有的平行四边形都可以分成两个一样的三角形？”引导孩子们再次经历不完全归纳推理的一般路径（有教师提出：三角形的面积公式推导需进行分类讨论，即通过直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况，通过完全归纳推理推导出三角形面积公式。曹培英教授在“跨越断层，走出误区：‘数学课程标准’核心词的实践解读之七——推理能力”一文中已明确指出这样的分类讨论可以认为渗透了完全归纳推理，但缺乏典型意义）。这样的教学，有效激活了学生的知识和经验，对于提升学生的直觉思维和应用意识也有很大帮助。
总之，学生合情推理能力的培养是一个长期的、循序渐进的过程。我们要善于分析教学中的症结并思索对策，深度挖掘教学资源，把合情推理能力的培养渗透在各个领域，使学生依托推理充分经历知识的“再创造”过程，有效达成“推理能力”的课程目标，培养学生的探索能力和创新精神。
你若盛开 蝴蝶自来
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