容斥原理是奥数的四大原理之一，是考生们绕不过去的知识点。孩子学习奥数，家长一定要让孩子掌握容斥原理解题方法。
容斥原理
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数 方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果 既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
容斥原理听上去很高深的一个“玩意”，其实通俗点理解就是在求解一个问题时，发现有部分被重复加了，那么就把重复部分减去，如果少加了，那么就把那部分补上。其实也就是这样。
容斥原理中经常用到的有如下两个公式：
1.两集合的容斥关系公式：A∪B＝A＋B－A∩B。
如果被计数的事物有A、B两类。那么所有属于A类或属于B类的元素个数总和＝A类元素个数＋属于B类元素个数－既属于A类又属于B类的元素个数。
孩子如果还是很难搞清这些关系，那么家长可以用文氏图来给孩子讲解，直观很多。
两集合的容斥关系用文氏图表示为：
2.三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C＝A＋B＋C－A∩B－A∩C－B∩C＋A∩B∩C。
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么所有属于A类或属于B类或属于C类的元素的个数总数＝A类元素的个数＋B类元素的个数＋C类元素的个数－既是A类又是B类元素的个数－既是B类又是C类元素的个数－既是A类又是C类元素的个数＋同时是A类B类C类元素的个数。
同样，家长也可以用文氏图，让孩子更直观地理解。
三集合的容斥关系用文氏图表示为：
需要注意的是，以上两个公式分别主要针对两种情况：第一个公式是针对涉及到计算两类事物的个数，第二个公式是针对涉及到三类事物的个数。
在理清了容斥原理之后，家长就可以通过典型例题让孩子懂得“学以致用”了。
▊例题：中秋前期，食监局对52种月饼产品进行质量抽检，其中有8种产品的添加剂不合格，10种产品的微生物超标不合格，9种产品的过氧化值超标不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。则三项全部合格的月饼有多少种？
解析：题干中所要寻找的是三项全部合格的月饼有多少种，而这道题已经给出了这三种月饼产品总共有52种，所以，只要求得至少有一项不达标的产品的种数容斥原理，就可以计算出三项全部合格(达标)的产品种数。而不合格的产品涉及到三种情况，所以运用三个集合的容斥关系公式成了解决此题的不二选择。
假设B是添加剂不合格产品的集合，A是微生物不合格的产品集合，C属于过氧化值不合格的产品集合，则：借助文氏图来计算
如下图所示，I是所有月饼产品的集合，A是微生物不合格的产品集合，B是添加剂不合格产品的集合，C属于过氧化值不合格的产品集合，图中的数字即是相应集合中元素的个数。
图中黑色部是同时两项不合格的产品集合，灰色部是这三项都不合格的产品集合。计算至少有一项不达标的产品的种数时候，黑色部分重复计算了一次，灰色部分复计算了两次容斥原理，所以，至少有一项不达标的产品的种数有10＋8＋9－7×1－1×2＝18(种)，进而可求出三项全部合格的月饼产品有(52－18)种，即34种。
家长辅导孩子学习时，要注意两点：
1.文氏图表示的都是相应的集合，而上面所提到的要解决的问题则是计算集合内事物个数的问题。
2.一般情况下，较为容易的采用容斥原理公式来计算，较为复杂则需借助文氏图。
所谓具体问题具体分析，这两种方法具体如何运用，考生还要针对不同题型灵活把握。家长可以让孩子多看几道例题，加深理解。
▊ 例题： 有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一个记号，每隔4厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断。问绳子共被剪成了多少段。
【解析】1-180中，3的倍数有60个，4的倍数有45个，而既是3的倍数又是4的倍数的数一定是12的倍数，这样的数有180÷12=15个。注意到180厘米处无法标上记号，所以标记记号有：(60-1)+(45-1)-(15-1)=89，绳子被剪成90段。
▊ 例题：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【解析】完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。
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